初めて買ったカメラで、いろんな写真を撮るようになった。
写真を撮るときに、被写体に近づいたり、離れたりして
綺麗に撮れるポイントを探るってるうちに
ふと、思ったんですよ。
被写体は、近づくと大きく見えて
離れると小さく見えるじゃないですか。当たり前かもしれないけど。
これって、賢い人は、計算すれば、これをこの大きさで撮りたいとき
どこから撮ればいいのかって、わかるんじゃないかと。
今の時代、ネットでググれば簡単になんでも、調べられちゃうのは
わかるけど、そうじゃない、
簡単さと難しさのバランスをとって
ちょうど自分でもできるくらいを少しずつやると楽しいんですよね。
なので、たまたま近くに数学の参考書で、調べてみた
なにやら聞いたことのある三角関数とやらが使えそうな気がした。
三角形の性質を利用して、傾き(勾配)と角度を変換したりできるっぽい。
試しに、東京タワーとスカイツリーの見た目上の高さが
同じになる位置を計算で出してみた。
東京タワーの高さ 333m
スカイツリーの高さ 634m
東京タワーからスカイツリーまでの距離 8190m
とした時。
①まず、東京タワーの頂点とスカイツリーの頂点を通る直線の勾配(傾き)を求める。
スカイツリーの高さと東京タワーの高さの差は
634m - 333m = 301m
なので、東京タワーからスカイツリーの距離で割ると
301m / 8190m = 0.03675213675213675213675213675214
この0.03675～というのが、勾配(傾き)といわれるやつで
これを三角関数のtanΘとして関数電卓で、角度に変えてやると
2.1047950024938481500232194279378°
となる。知りたいのは、どこから東京タワーを見ればいいかなので
この角度は、別に使わない。
でも、ここで求めた勾配(傾き)「0.03675～」ってやつを使う。
この値は、tanΘから１つの角度が求まったように
勾配(傾き)が求まれば、角度が決まる。角度が決まれば勾配(傾き)が決まる。
つまり、これが三角形の相似とやらで、この求めた角度と
これから求めようとしている位置から東京タワーの頂点までの
角度は同じっぽい。
（というか同じにすることで、高さが同じに見えるはず）
つまり、求めたい位置は、東京タワーの高さから、この勾配(傾き)で割れば出る。
333m / 0.03675213675213675213675213675214
= 9060.6976744186046511627906976736m
それっぽい値がでた。いやぁ、三角関数？？面白いじゃん！
さっそく、この位置に行って正しいか確認してみたいけど
たぶん、まだ、いくつか、問題がある気がするので
もう少し、ブラッシュアップしてからにしたい。
問題点①：東京タワーとスカイツリーの距離をGoogleマップで測ってるんだけど
測るたびに、変わるので、たぶん正確に測れてない。。
三角測量で、自力で測りたい気がするけど
それは、今度現地に行ったときにやってみるとして
いまは、すぐに欲しいのでネットで調べたら簡単に出た。
8220m
んー、ほとんど変わんなかったけど、気持ち的に
こっちを使うことにする。
同じように、さっきの方法で求める。
301m / 8220m = 0.036618004866180048661800486618
(2.0971201403285223337907865574858°）
333m / 0.036618004866180048661800486618
=9093.8870431893687707641196013301m
マップで、それっぽい位置を確認。
9093.8870431893687707641196013301m + 8220m
=17,313.88704318936877076411960133m
=17.313km
東京都世田谷区奥沢のよう。
問題点②：求められたのは、スカイツリーから東京タワーを結ぶ直線上を
東京タワーの方向に進んだ位置の１点だけ。全ては求められていないはず。
直線上だと、東京タワーとスカイツリーが重なってしまう。
東京タワーとスカイツリーを真横に並べて、同じ高さで見れる位置もあるはず。
これは、いろいろ図形を描いてやってみるけど、わかりそうでわかんない、、
東京タワーとスカイツリーの間に、それぞれの頂点から線を引いて
地平線との角度が同じになる位置になる三角形…。
それを計算でどうやって出すのかがわかんない。。。
自力では、むずかしいので、ギブアップ。ネットで答えをみる。
なるほど。。
「比」と「三角形の相似」と「一次方程式」の理解が足りてなかったっぽい。
【比】
複数の値の最大値の方を１とした時に、
他の値がいくつになるのかの割合。
つまり、スカイツリーの高さ634mを1としたとき
東京タワーの高さの割合は、
333m / 634m = 0.52523659305993690851735015772871
から
スカイツリーの高さ1mに対して
東京タワーの高さは、0.52523659305993690851735015772871m
この比は、A:B = C:D としたとき
内側同士と外側同士をかけると同じ値になる。
この理由は、比というのは、同じ値nをかけても比率は変わらない
A:B = A*n : B*n
たとえば、 4 : 8という比で、3をかけても
12 : 24 となり、２倍であるのには変わらないというもの。
つまりは
A:B = A*n : B*n
この式に対して、外側同士をかけるというのは
A * B * n
で、内側同士をかけるというのは
B * A * n
ということで、双方とも「A」と「B」と「ｎ」をかけただけなので
同じ値になるということ。
実際に、数字を入れてみると
4:8 = 4*2 : 8*2
外側は、4 * 8 * 2
内側は、8 * 4 * 2
つまり、双方とも「４」と「８」と「２」をかけただけなので、同じ値になる。
【三角形の相似条件】
①３つの辺の比が、すべて等しいとき
②２つの辺の比とその間の角が、それぞれ等しいとき
③２つの角が、それぞれ等しいとき
地平線との角度が、それぞれ同じになる三角形というのは
この三角形の相似条件を満たすことになる。
【一次方程式】
つまり、東京タワーとスカイツリーの高さの比は
東京タワーからとスカイツリーからの間の求めたい位置の比と同じになる。
東京タワーから求めたい位置の距離は
333 : 634 = x : 8220 - x
これは、一次方程式なのでxの値は、求められる。
外側同士と内側同値を乗算する。
333(8220 - x) = 634x
634x = 333(8220 - x)
634x = 2737260 - 333x
634x + 333x = 2737260
967x = 2737260
x = 2737260 / 967
x = 2830.6721820062047569803516028956m
スカイツリーから求めたい位置の距離は
333:634 = 8220 - x : x
333x = 634(8220 - x)
333x = 5211480 - 634x
333x + 634x = 5211480
967x = 5211480
x = 5211480 / 967
x = 5,389.3278179937952430196483971044m
んー、解き方あってるのか、なんか、あんまり自信がない。。
双方の距離を足してみる。
2830.6721820062047569803516028956m +
5,389.3278179937952430196483971044m
= 8,220m
おおおおお！！！それ、ぽいじゃねーか！
ここまで、来ればあと少し。
この三角形の比率は、角度を変えないように均等に
位置を変更することで、全ての点を出すことができる。
（「アポロニウスの円」というらしい）
東京タワーを軸に、一番初めに求めた位置と
今回求めた位置の距離を足してやれば、直径が出るので
9093.8870431893687707641196013301m +
2830.6721820062047569803516028956m
= 11,924.559225195573527744471204226m
半径は
11,924.559225195573527744471204226m / 2
=5,962.2796125977867638722356021129m
この中心位置は、今回求めた距離も含む値なので、引いてやると
5,962.2796125977867638722356021129m -
2830.6721820062047569803516028956m
= 3,131.6074305915820068918839992173m
つまり、東京タワーから上記の距離離れた位置を中心にして
5,962.2796125977867638722356021129m
を半径にした円の円周上に存在する点が全てが
東京タワーとスカイツリーの同じ高さに見える位置だ！！
（問題③を無視すれば。。）
一応、円の中心がどこなのか、実際にマップで見てみると
国立科学博物館附属自然教育園の敷地内だった。なるほど。楽しい。
問題点③：地球は丸いから東京タワーとスカイツリーが地平線の向こうに沈む分
高さが低くなってしまうのを考慮できていないと思われる。
あとは、これだけだ。もうこれは、自力で解けるわけがないので
早々にカンニング。
【ピタゴラスの定理】
地球の半径rとした円周上(地平線)の頂点から水平にタワー位置まで
直線を引いたときの距離(d)から地面までの距離x分が低くなるのを求めるために
ピタゴラスの定理を用いると
(x + r)^2 = r^2 + d^2
ちなみに地球の半径(r)は、6378137m
つまり
沈む距離 $x = \sqrt{r^2+d^2} - r$
タワーまでの距離が最長になるのは
一番初めに求めた距離なので
東京タワーは
9093.8870431893687707641196013301m
スカイツリーは
9093.8870431893687707641196013301m + 8220m
=17,313.88704318936877076411960133m
で、式にあててみると
東京タワーは
$x = \sqrt{6378137^2+9093.8870431893687707641196013301^2} - 6378137m$
$x = \sqrt{40680631590769 + 82698781.554287480270637189435017} - 6378137m$
x = 6.4829855116930175260472538836905m
スカイツリーは
$x = \sqrt{6378137^2+17,313.88704318936877076411960133^2} - 6378137m$
$x = \sqrt{40680631590769+299770684.54432070286199931568088} - 6378137m$
x = 23.499819171555863964466957755418m
つまり、東京タワーとスカイツリーの沈む部分を相殺すると
23.499819171555863964466957755418m - 6.4829855116930175260472538836905m
=17.016833659862846438419703871728m
なので、この高さ分最大で離れたとき、スカイツリーの方が沈んでいる。
これの影響は、
301m -
17.016833659862846438419703871728m
=283.98316634013715356158029612827m
283.98316634013715356158029612827m/8220m
=0.03454783045500451989800246911536
634m - 17.016833659862846438419703871728m
=616.98316634013715356158029612827m
616.98316634013715356158029612827m /
0.03454783045500451989800246911536
=17858.810762189623393486976092951m
17,313.88704318936877076411960133m-
17858.810762189623393486976092951m
=-544.923719000254622722856491621m
最大でずれたときは、
-544.923719000254622722856491621m
東京タワーに近づけばよいのか。
ほんとかな？
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